Wapbum.ru

Wapbum.ru - обоюдовыгодный блог

Метки: Уравнение ландау лифшица гильберта, уравнение ландау лифшица магнетизм, уравнение ландау лифшица.

   Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

Уравнение Ландау — Лифшица — уравнение, описывающее движение намагниченности в приближении континуальной модели в твердых телах. Впервые введено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 году.

Содержание

Формулировка

Для бездиссипативной среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде

где  — плотность магнитного момента (намагниченность),  — некоторая феноменологическая постоянная,  — так называемое эффективное магнитное поле.

Уравнение в основном используется для ферро- и ферримагнетиков. В общем случае постоянная не совпадает с гиромагнитным отношением и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом орбитальных моментов. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в -состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют), можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности[1]. Это выполняется для CdCr2Se4, железо-иттриевого граната Y3Fe5O12, пермаллоя Fe20+xNi80-x и большинства др. ферро- и ферримагнитных материалов.

Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная свободной энергии по магнитному моменту[2]

В случае, когда рассматривается магнетик вдали от температуры Кюри или при нулевой температуре, то свободная энергия равна внутренней .

В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на , что даст

Этот факт дает основание говорить о прецессии намагниченности.

Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен[3], поэтому часто постулируется возможность формального перехода от уравнения движения оператора спина

к уравнению (1) путем замены и разложения поля намагниченности вблизи точки в ряд Тейлора[4]. Тут  — коммутатор,  — гамильтониан,  — оператор спина для n-го узла решетки, а  — его радиус-вектор,  — постоянная решетки,  — магнетон Бора.

Модификации

Учет диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближенного описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведенных форм[5]. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.

Релаксационный член в форме Ландау — Лифшица

Ландау и Лифшиц предложили[6] следующую модификацию:

где  — параметр диссипации. Иногда за параметр диссипации принимают величину .

Уравнение Ландау — Лифшица — Гильберта

Часто используется релаксационный член в форме Гильберта:

где  — параметр диссипации. Формальный переход между уравнениями (5) и (6) можно совершить заменой

В связи с отрицательным значением гиромагнитного отношения встречаются определения параметров релаксации с противоположными знаками в (5) и (6)[7].

Уравнение Блоха — Бломергена

Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности может служить модифицированное уравнение Блоха или уравнение Блоха — Бломергена:

где  — так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а  — частота релаксации.

Влияние спин-поляризированного тока

Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида . Один из подходов к его конкретизации[8] состоит в разложении вектора по осям, направленным вдоль , и . Тут  — единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие

\mathbf T_{\parallel} = - \frac{|\gamma|a_J}{M_s}\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\quad
\mathbf T_{\perp} = |\gamma|b_J[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\qquad (9)

где коэффциценты и пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризирующей структуры и угла между и .

Другие формы записи

Для аналитического анализа, чаще всего уравнение Ландау — Лифшица записывается в угловых переменных сферической системы координат и . В таком случае вектор намагничености можно представить как

где  — намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (1) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности , выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов получим

\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi},\quad 
\sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta}.\qquad (10)

Получение уравнений в угловых переменных содержащих дополнительные члены проделывается аналогично. Так для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем

\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi} - \alpha\sin^2\theta \frac{\partial \phi}{\partial t},\quad 
\sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta} + \alpha \frac{\partial \theta}{\partial t}.\qquad (11)

См. также

Примечания

  1. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — ISBN 5-02-014366-9 на стр. 17.
  2. УФН
  3. Подробнее, этот вопрос был рассмотрен, например, в Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г. Пелетминский С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с. на стр. 44 и Herring C., Kittel C, On the theory of spin waves in ferromagnetic media. — Phys. Rev., 1951, 81 N. 5, p. 869—880.
  4. В этом случае обычно ограничиваются членами второго порядка малости, так как в случае, когда каждый узел решетки является её центром симметрии, содержащее первую производную по координате слагаемое обращается в нуль.
  5. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — ISBN 5-02-014366-9 на стр. 27.
  6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел // Ландау Л. Д. Собрание трудов в 2 т. Под ред. Е. М. Лифшица. М.: Наука, 1969. Т. 1. С. 97
  7. Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. — Springer, 1998. — P. 557. — ISBN 3540641084 на стр. 151.
  8. [1]

Литература

  • Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
  • Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с.,  ISBN 5-02-014366-9.
  • Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
  • Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436–442, (2008) http://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, С. 153-169.
  • Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
  • Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. http://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
  • Hubert Alex Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. — Springer, 1998. — P. 557. — ISBN 3540641084

Ссылки

  • OOMMF — The Object-Oriented Micromagnetic Framework — свободно распространяемый программный пакет для микромагнитного моделирования, написанный на C++ и Tcl/Tk.
  • Ферромагнитные домены

Tags: Уравнение ландау лифшица гильберта, уравнение ландау лифшица магнетизм, уравнение ландау лифшица.